DJ CHIN-Sが辺を3等分するお話
- ちんさん
- 2018年8月8日
- 読了時間: 4分
音ゲーの話をしろ(ふんぬ)
これはくえばブログリレー企画の記事です。Project DIVA Arcadeの話をしてプレイヤーを6億人くらい増やして大人気機種にしてもいいのですが、折角なので僕の趣味でもあり大学院での研究テーマでもある「折り紙」を今回のトピックにします。折り紙の数理が僕の専攻です。
折り紙をしたことがないという人はほとんどいないと思うので、折り紙とは？という話は割愛。
何か作品を折ろうとするとき、大抵はその作品の折り方(折り図)を見て折ると思うのですが、折り始める際に次のような指示を見ることがあります。
「辺を3等分する(辺の1/3の折り目をつける)」
こんな感じです(点線の部分)。
これだけ書かれたとき、折り目の付け方は折り手に委ねられており、私たちはどうにかこうにかして正方形の一辺を3等分しなければなりません。市販の折り紙は大体のものが15cm四方なので定規で5cm測って印をつけるといったことも可能ですし、15cm四方でなくても大体で3等分すれば簡単な作品では特に問題ないです。しかし、複雑な作品を大きめの紙で折ろうして適当に3等分してしまうと、正確な3等分線からのズレが後々の折りに影響し作品が綺麗に出来上がらなかったり、そもそも完成せずにえも言われぬ気持ちになり紙を破壊してしまうことも多々あります。
というわけで、折り紙のみでの辺の3等分はどうすればいいのかという問いに対する答えが以下です(割と有名というかよく用いられる手法)。見つけた人えらい！たった4工程の大したことない操作で3等分できるので、暇な人はお近くの折り紙で試してみてください。
①辺の半分の折り目をつける
②対角線で折り目をつける
③辺の半分の折り目の上端と紙の右下の頂点を結ぶ折り目をつける
④対角線との交点を通り、紙の下(または上)の辺に垂直な折り目をつける
これが辺の1/3の折り目になっており、なぜこれで3等分できるかは三角形の相似を用いてちょちょいと証明できるので略。
他にも折り紙での辺の三等分の方法はあるのですが、こちらはまたの機会に書こうと思います。
オマケ:任意角の3等分
任意角の3等分はできないはずでは…??
それは定木とコンパスのみを用いたお話 (角の3等分問題,ギリシアの3大作図問題などで検索してみてください)。
なんと折り紙では任意角の3等分ができちゃいます！すごい！
例として鋭角及び直角の3等分の方法です。
※かなり小さい角の場合には工程③で正方形をはみ出してしまうことがあるので、その場合は横に長い紙を用いたり、工程②で工夫して折り目をつけるとできます。
①紙の左下の頂点(p_1)を通り、適当な折り目(L_2)をつけときの角の大きさをθとする
②辺の1/2,1/4の折り目をつける
③図の点p_1,p_2がそれぞれ折り線L_1,L_2に乗るように折る(ちょっと難しい)
④L_1を延長するように折り、L_3とする
⑤L_3を延長するとこれはp_1を通り、L_2とL_3のなす角がθ/3となっている
なぜL_3がp_1を通りθを3等分できているかの証明は、辺の3等分の場合ほど容易ではありませんが、対頂角だったり三角形の合同を考えるとできますので省略します(本音:書くのめんどくさい)。鈍角に関しても同様、もしくは鋭角の3等分を利用してできます。
以上より、なんとギリシアの3大作図問題の1つを折り紙を用いて解決できちゃいました。実は立方体倍積問題の方も折り紙を用いて解決できるのですが、そちらは後日また記事を書きます(多分)。折り紙は定木、コンパスよりも強力な能力の持ち主であるかもしれませんね。
ブログリレー企画の僕の担当分は以上になります。
今回は折り紙の数理の話題でもあまり難しくない、というか取っ付き易いものを選んだつもりではありますがいかがだったでしょうか。僕は数学をメインで学んでいる人間ではありますが、「こういう数学もあるんだ」ということを感じてもらえれば幸いです。以前に当ブログで折り紙による三次方程式の解法の記事も投稿していたりもするので、よかったらそちらも読んでみてください。
ではでは。
…あれ、音ゲーの話は？